Énoncé:
Considérons la série polynomiale infinie $A_F(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \dots$, où $F_k$ est le $k$ème terme de la suite de Fibonacci: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$ ; c'est-à-dire, $F_k = F_{k-1} + F_{k-2}$, $F_1 = 1$ et $F_2 = 1$.
Pour ce problème, nous nous intéresserons aux valeurs de $x$ pour lesquelles $A_F(x)$ est un entier positif.
Étonnamment,
$\begin{align*}
A_F(\tfrac{1}{2})
&= (\tfrac{1}{2})\times 1 + (\tfrac{1}{2})^2\times 1 + (\tfrac{1}{2})^3\times 2 + (\tfrac{1}{2})^4\times 3 + (\tfrac{1}{2})^5\times 5 + \cdots \\
&= \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{2}{8} + \tfrac{3}{16} + \tfrac{5}{32} + \cdots \\
&= 2
\end{align*}$
Les valeurs correspondantes de x pour les cinq premiers nombres naturels sont indiquées ci-dessous.
| $x$ | $A_F(x)$ |
|---|---|
| $\sqrt{2} - 1$ | $1$ |
| $\frac{1}{2}$ | $2$ |
| $\frac{\sqrt{13} - 2}{3}$ | $3$ |
| $\frac{\sqrt{89} - 5}{8}$ | $4$ |
| $\frac{\sqrt{34} - 3}{5}$ | $5$ |
On appellera $A_F(x)$ une pépite d'or si $x$ est rationnel, car elles deviennent de plus en plus rares; par exemple, la $10$ème pépite d'or est $74049690$.
Trouvez la $15$e pépite d'or.
Lien du problème originel