Énoncé:
Considérons la série polynomiale infinie $A_G(x) = xG_1 + x^2G_2 + x^3G_3 + \dots$, où $G_k$ est le $k$ème terme de la relation de récurrence du second ordre $G_k = G_{k-1} + G_{k-2}$, $G_1 = 1$ et $G_2 = 4$; c'est-à-dire $1, 4, 5, 9, 14, 23, \dots$.
Pour ce problème, nous nous intéresserons aux valeurs de pour lesquelles $A_G(x)$ est un nombre entier positif.
Les valeurs correspondantes de $x$ pour les cinq premiers nombres naturels sont indiquées ci-dessous.
| $x$ | $A_G(x)$ |
|---|---|
| $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ - 1$ | $1$ |
| $\frac{2}{5}$ | $2$ |
| $\frac{\sqrt{22} - 2}{6}$ | $3$ |
| $\frac{\sqrt{137} - 5}{14}$ | $4$ |
| $\frac{1}{2}$ | $5$ |
Nous appellerons $A_G(x)$ une pépite d'or si $x$ est rationnel, car elles deviennent de plus en plus rares; par exemple, la $20$ème pépite d'or est $211345365$.
Trouvez la somme des trente premières pépites d'or.
Lien du problème originel