Énoncé:
Soit $ABC$ un triangle dont tous les angles intérieurs sont inférieurs à $120$ degrés. Soit $X$ un point quelconque à l'intérieur du triangle et $XA = p$, $XC = q$, et $XB = r$.
Fermat a mis au défi Torricelli de trouver la position de $X$ telle que $p + q + r$ soit minimisé.
Torricelli a pu prouver que si des triangles équilatéraux $AOB$, $BNC$ et $AMC$ sont construits sur chaque côté du triangle $ABC$, les cercles circonscrits de $AOB$, $BNC$ et $AMC$ se croiseront en un seul point, $T$, à l'intérieur du triangle. De plus, il a prouvé que $T$, appelé point de Torricelli/Fermat, minimise $p + q + r$. Plus remarquable encore, on peut montrer que lorsque la somme est minimisée, $AN = BM = CO = p + q + r$ et que $AN$, $BM$ et $CO$ se coupent également en $T$.
Si la somme est minimisée et que $a$, $b$, $c$, $p$, $q$ et $r$ sont tous des entiers positifs, nous appellerons le triangle $ABC$ un triangle de Torricelli. Par exemple, $a = 399$, $b = 455$, $c = 511$ est un exemple de triangle de Torricelli, avec $p + q + r = 784$.
Trouvez la somme de toutes les valeurs distinctes de $p + q + r \le 120000$ pour les triangles de Torricelli.
Lien du problème originel