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Problème 159

Énoncé:

Un nombre composé peut être factorisé de plusieurs façons différentes. Par exemple, sans compter la multiplication par un, $24$ peut être factorisé de $7$ façons différentes:

$$24 = 2\times 2\times 2\times 3$$
$$24 = 2\times 3\times 4$$
$$24 = 2\times 2\times 6$$
$$24 = 4\times 6$$
$$24 = 3\times 8$$
$$24 = 2\times 12$$
$$24 = 24$$

Rappelons que la racine numérique d'un nombre, en base $10$, est trouvée en additionnant les chiffres de ce nombre, et en répétant ce processus jusqu'à obtenir un nombre inférieur à $10$. Ainsi, la racine numérique de $467$ est $8$.

Nous appellerons somme des racines numériques (SDR) la somme des racines numériques des facteurs individuels de notre nombre.
Le tableau ci-dessous présente toutes les valeurs de SDR pour $24$.

Factorisation Digital Root Sum
$2\times 2\times 2\times 3$ $9$
$2\times 3\times 4$ $9$
$2\times 2\times 6$ $10$
$4\times 6$ $10$
$3\times 8$ $11$
$2\times 12$ $5$
$24$ $6$

La somme maximale des racines numériques de $24$ est $11$.
La fonction $msdr(n)$ donne la somme maximale des racines numériques de $n$. Donc $msdr(24)=11$.

Trouvez $\sum msdr(n)$ pour $1 < n < 10^6$.

Lien du problème originel