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Problème 196

Énoncé:

Construisons un triangle à partir de tous les nombres entiers positifs de la manière suivante :

$01$
$\color{RED}2\color{BLACK} \ \color{RED}3\color{BLACK}$
$04 \ \color{RED}5\color{BLACK} \ 06$
$\color{RED}7\color{BLACK} \ 08 \ 09 \ 10$
$\color{RED}11\color{BLACK} \ 12 \ \color{RED}13\color{BLACK} \ 14 \ 15$
$16 \ \color{RED}17\color{BLACK} \ 18 \ \color{RED}19\color{BLACK} \ 20 \ 21$
$22 \ \color{RED}23\color{BLACK} \ 24 \ 25 \ 26 \ 27 \ 28$
$\color{RED}29\color{BLACK} \ 30 \ \color{RED}31\color{BLACK} \ 32 \ 33 \ 34 \ 35 \ 36$
$\color{RED}37\color{BLACK} \ 38 \ 39 \ 40 \ \color{RED}41\color{BLACK} \ 42 \ \color{RED}43\color{BLACK} \ 44 \ 45$
$46 \ \color{RED}47\color{BLACK} \ 48 \ 49 \ 50 \ 51 \ 52 \ \color{RED}53\color{BLACK} \ 54 \ 55$
$56 \ 57 \ 58 \ \color{RED}59\color{BLACK} \ 60 \ \color{RED}61\color{BLACK} \ 62 \ 63 \ 64 \ 65 \ 66$
$\dots$

Chaque nombre entier positif a jusqu'à huit voisins dans le triangle.

Un ensemble de trois nombres premiers est appelé un triplet de nombres premiers si l'un des trois nombres premiers a les deux autres comme voisins dans le triangle.

Par exemple, dans la deuxième rangée, les nombres premiers $2$ et $3$ sont des éléments d'un triplet premier.

Si l'on considère la rangée 8, elle contient deux nombres premiers qui sont des éléments d'un triplet premier, à savoir $29$ et $31$.
Si l'on considère la rangée $9$, elle ne contient qu'un seul nombre premier qui est un élément d'un certain triplet premier : $37$.

Définissez $S(n)$ comme la somme des nombres premiers de la rangée $n$ qui sont des éléments d'un triplet de nombres premiers.
Alors $S(8)=60$ et $S(9)=37$.

On vous donne $S(10000)=950007619$.

Trouvez $S(5678027) + S(7208785)$.

Lien du problème originel