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Problème 198

Énoncé:

Soit $x$ un nombre réel.
Une meilleure approximation de $x$ pour la limite du dénominateur $d$ est un nombre rationnel $\frac{r}{s}$ sous forme réduite, avec $s \le d$, tel que tout nombre rationnel qui est plus proche de $x$ que $\frac{r}{s}$ a un dénominateur plus grand que $d$.

Habituellement, la meilleure approximation d'un nombre réel est déterminée de manière unique pour toutes les limites du dénominateur. Cependant, il existe quelques exceptions, par exexemple: $\frac{9}{40}$ a les deux meilleures approximations $\frac{1}{4}$ and $\frac{1}{5}$ pour la limite de dénominateur $6$. Nous appellerons un nombre réel $x$ ambigu, s'il existe au moins une limite du dénominateur pour laquelle $x$ possède deux meilleures approximations. Il est clair qu'un nombre ambigu est nécessairement rationnel.

Combien de nombres ambigus $x = \frac{p}{q}$, $0 < x < \frac{1}{100}$ existe t-il dont le dénominateur ne dépasse pas $10^8$?

Lien du problème originel