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Problème 201

Énoncé:

Pour tout ensemble $A$ de nombres, soit $\text{somme}(A)$ la somme des éléments de $A$.
Considérons l'ensemble $B = \{1,3,6,8,10,11\}$.
Il y a $20$ sous-ensembles de $B$ contenant trois éléments, et leurs sommes sont :

$\qquad \text{somme}(\{1,3,6\}) = 10$,
$\qquad \text{somme}(\{1,3,8\}) = 12$,
$\qquad \text{somme}(\{1,3,10\}) = 14$,
$\qquad \text{somme}(\{1,3,11\}) = 15$,
$\qquad \text{somme}(\{1,6,8\}) = 15$,
$\qquad \text{somme}(\{1,6,10\}) = 17$,
$\qquad \text{somme}(\{1,6,11\}) = 18$,
$\qquad \text{somme}(\{1,8,10\}) = 19$,
$\qquad \text{somme}(\{1,8,11\}) = 20$,
$\qquad \text{somme}(\{1,10,11\}) = 22$,
$\qquad \text{somme}(\{3,6,8\}) = 17$,
$\qquad \text{somme}(\{3,6,10\}) = 19$,
$\qquad \text{somme}(\{3,6,11\}) = 20$,
$\qquad \text{somme}(\{3,8,10\}) = 21$,
$\qquad \text{somme}(\{3,8,11\}) = 22$,
$\qquad \text{somme}(\{3,10,11\}) = 24$,
$\qquad \text{somme}(\{6,8,10\}) = 24$,
$\qquad \text{somme}(\{6,8,11\}) = 25$,
$\qquad \text{somme}(\{6,10,11\}) = 27$,
$\qquad \text{somme}(\{8,10,11\}) = 29$.

Certaines de ces sommes apparaissent plus d'une fois, d'autres sont uniques.
Dans notre exemple, nous trouvons $U(B,3) = \{10,12,14,18,21,25,27,29\}$ et $\text{sommme}(U(B,3)) = 156$.

Considérons maintenant l'ensemble de 100 éléments $S = \{12, 22, \dots , 1002\}$.
$S$ a $100891344545564193334812497256$ sous-ensembles de $50$ éléments.

Déterminez la somme de tous les entiers qui sont la somme d'exactement un des sous-ensembles à $50$ éléments de $S$, c'est-à-dire trouvez $\text{somme}(U(S,50))$.

Lien du problème originel