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Problème 207

Énoncé:

Pour certains entiers positifs $k$, il existe une partition d'entiers de la forme $4^t = 2^t + k$,
où $4^t$, $2^t$ et $k$ sont tous des entiers positifs et $t$ est un nombre réel.

Les deux premières partitions de ce type sont $4^1 = 2^1 + 2$ et $4^{1.5849625\dots} = 2^{1.5849625\dots} + 6$.

Les partitions où $t$ est aussi un nombre entier sont dites parfaites.
Pour tout $m \ge 1$, soit $P(m)$ la proportion de telles partitions qui sont parfaites avec $k \le m$.
Ainsi $P(6) = 1/2$.

Dans le tableau suivant sont listées quelques valeurs de $P(m)$.

$\qquad P(5) = 1/1$
$\qquad P(10) = 1/2$
$\qquad P(15) = 2/3$
$\qquad P(20) = 1/2$
$\qquad P(25) = 1/2$
$\qquad P(30) = 2/5$
$\qquad \dots$
$\qquad P(180) = 1/4$
$\qquad P(185) = 3/13$

Trouvez le plus petit $m$ pour lequel $P(m) < 1/12345$.

Lien du problème originel