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Problème 57

Énoncé:

Il est possible de montrer que la racine carré de $2$ peut être exprimée comme une fraction continue infinie.

$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}$$

En développant cela pour les 4 premières itérations, on obtient:

$1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{7}{5} = 1.4$
$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} = 1.41666\dots$
$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}} = 1.41379\dots$

Les trois prochains développements sont $\frac{99}{70}$, $\frac{239}{169}$ et $\frac{577}{408}$, mais le $8$ème développpement, $\frac{1393}{985}$, est le premier exemple où le nombre de chiffres du numérateur excède le nombre de chiffres du dénominateur.

Dans les mille premiers développements, combien de fractions contiennent un numérateur avec plus de chiffres que le dénominateur ?

Lien du problème originel