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Problème 64

Énoncé:

Toutes les racines carrées sont périodiques quand elles sont écrites sous la forme de fractions continues:

$\quad \sqrt{N} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \dots}}}$

Par exemple, considérons $\sqrt{23}$:

$\quad \sqrt{23} = 4 + \sqrt{23} - 4 = 4 + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{23} - 4}} = 4 + \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{23} - 3}{7}}$

Si on continue, on obtiendrait le dévelopemment suivant:

$\quad \sqrt{23} = 4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{8 + \dots}}}}$

Le processus peut être résumé de la manière suivante:

$\quad a_0 = 4, \frac{1}{\sqrt{23} - 4} = \frac{\sqrt{23} + 4}{7} = 1 + \frac{\sqrt{23} - 3}{7}$
$\quad a_1 = 1, \frac{7}{\sqrt{23} - 3} = \frac{7(\sqrt{23} + 3)}{14} = 3 + \frac{\sqrt{23} - 3}{2}$
$\quad a_2 = 3, \frac{2}{\sqrt{23} - 3} = \frac{2(\sqrt{23} + 3)}{14} = 3 + \frac{\sqrt{23} - 4}{7}$
$\quad a_3 = 1, \frac{7}{\sqrt{23} - 4} = \frac{7(\sqrt{23} + 4)}{7} = 8 + \sqrt{23} - 4$
$\quad a_4 = 8, \frac{1}{\sqrt{23} - 4} = \frac{\sqrt{23} + 4}{7} = 1 + \frac{\sqrt{23} - 3}{7}$
$\quad a_5 = 1, \frac{7}{\sqrt{23} - 3} = \frac{7(\sqrt{23} + 3)}{14} = 3 + \frac{\sqrt{23} - 3}{2}$
$\quad a_6 = 3, \frac{2}{\sqrt{23} - 3} = \frac{2(\sqrt{23} + 3)}{14} = 3 + \frac{\sqrt{23} - 4}{7}$
$\quad a_7 = 1, \frac{7}{\sqrt{23} - 4} = \frac{7(\sqrt{23} + 4)}{7} = 8 + \sqrt{23} - 4$

On peut remarquer que la suite se répète. Pour être concis, on utilise la notation $\sqrt{23} = [4; (1, 3, 1, 8)]$, pour indiquer que le bloc $(1, 3, 1, 8)$ se répète indéfiniment.

Les dix premières fractions continues de racines carrés (irrationnelles) sont:

$\quad \sqrt{2} = [1; (2)]$ de période $1$
$\quad \sqrt{3} = [1; (1, 2)]$ de période $2$
$\quad \sqrt{5} = [2; (4)]$ de période $1$
$\quad \sqrt{6} = [2; (2, 4)]$ de période $2$
$\quad \sqrt{7} = [2; (1, 1, 1, 4)]$ de période $4$
$\quad \sqrt{8} = [2; (1, 4)]$ de période $2$
$\quad \sqrt{10} = [3; (6)]$ de période $1$
$\quad \sqrt{11} = [3; (3, 6)]$ de période $2$
$\quad \sqrt{12} = [3; (2, 6)]$ de période $2$
$\quad \sqrt{13} = [3; (1, 1, 1, 1, 6)]$ de période $1$

Exactement quatre fractions continues, pour $N \le 13$, ont une période impaire.

Combien de fractions, pour $N \le 10000$, ont une période impaire ?

Lien du problème originel