Énoncé:
La racine carrée de 2 peut être écrite sous la forme d'une fraction continue infinie.
$\displaystyle\sqrt{2} = 1 + \displaystyle\frac{1}{2 + \displaystyle\frac{1}{2 + \displaystyle\frac{1}{2 + \displaystyle\frac{1}{2 + \dots}}}}$
La fraction continue infinie peut être écrite, $\sqrt{2} = [1; (2)]$, $(2)$ indique que $2$ se repète à l'infini. De manière similaire: $\sqrt{23} = [4; (1, 3, 1, 8)]$.
Il se trouve que la suite des réduites des fractions continues offre les meilleurs approximations rationelles. Considérons les réduites de $\sqrt{2}$.
$1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{7}{5}$
$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12}$
$1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}} = \frac{41}{29}$
Par conséquent, la suite des $10$ premières réduites de $\sqrt{2}$ sont:
$1, \displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{7}{5}, \displaystyle\frac{17}{12}, \displaystyle\frac{41}{29}, \displaystyle\frac{99}{70}, \displaystyle\frac{239}{169}, \displaystyle\frac{577}{408}, \displaystyle\frac{1393}{985}, \displaystyle\frac{3363}{2378}, \dots$
Ce qui est encore plus surpenant est que la constante mathématique la plus importante,
$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, \dots, 1, 2k, 1, \dots]$
Par conséquent, la suite des $10$ premières réduites de $e$ sont:
$2, 3, \displaystyle\frac{8}{3}, \displaystyle\frac{11}{4}, \displaystyle\frac{19}{7}, \displaystyle\frac{87}{32}, \displaystyle\frac{106}{39}, \displaystyle\frac{193}{71}, \displaystyle\frac{1264}{465}, \displaystyle\frac{1457}{536}, \dots$
La somme des chiffres dans le numérateur de la dixième réduite est $1 + 4 + 5 + 7 = 17$.
Trouve la somme des chiffres dans le numérateur de la $100$ème réduite de la fraction continue de $e$.
Lien du problème originel