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Problème 66

Énoncé:

Considérons les équations diophantines du second degrès de la forme:

$\qquad \qquad x^2 - D \times y^2 = 1$

Par exemple, quand $D = 13$, la solution minimale en $x$ est $649^2 - 13 \times 180^2 = 1$.

On peut démontrer qu'il n'y a pas de solution dans les entiers positifs quand $D$ est un carré.

En trouvant les solutions minimales en $x$ pour $D = \{2, 3, 5, 6, 7\}$, on obtient:

$\qquad \qquad 3^2 - 2 \times 2^2 = 1$
$\qquad \qquad 2^2 - 3 \times 1^2 = 1$
$\qquad \qquad$9$^2 - 5 \times 4^2 = 1$
$\qquad \qquad 5^2 - 6 \times 2^2 = 1$
$\qquad \qquad 8^2 - 7 \times 3^2 = 1$

Par conséquent, en considérant les solutions minimales en $x$ pour $D \le 7$, le plus grand $x$ est obtenu quand $D = 5$.

Trouve la valeur de $D \le 1000$ en solution minimale pour $x$ pour laquelle la plus grande valeur de $x$ est obtenue.

Lien du problème originel