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Problème 74

Énoncé:

Le nombre $145$ est bien connu pour le fait que la somme des factorielles de ses chiffres lui est égal:

$\qquad \qquad 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$

Possiblement moins connu, $169$, est l'entier qui produit la plus grande chaine de nombres revenant à lui même. Seul trois chaines de la sorte existent:

$\qquad \qquad 169 → 363601 → 1454 → 169$
$\qquad \qquad 871 → 45361 → 871$
$\qquad \qquad 872 → 45362 → 872$

Il n'est pas difficile de prouver que chaque entier de départ tombera à un moment ou à un autre dans une de ces boucles. Par exemple:

$\qquad \qquad 69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601 \ (→ 1454)$
$\qquad \qquad 78 → 45360 → 871 → 45361 \ (→ 871)$
$\qquad \qquad 540 → 145 \ (→ 145)$

Commencer de $69$ produit une chaine de cinq termes sans nombre se répétant, mais la plus longue chaine sans répétition avec un nombre commençant en dessous d'un million est a $60$ termes.

Combien de chaines, avec un entier de départ inférieur à un million, contiennent exactement $60$ termes sans répétitions ?

Lien du problème originel