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Problème 88

Énoncé:

Un nombre naturel $N$, qui peut être écrit comme la somme et le produit d'une produit d'un ensemble donné d'au moins deux entiers naturels est appelé un nombre produit-somme: $N = a_1 + a_2 + \dots + a_k = a_1 \times a_2 \times \dots \times a_k$.

Par exemple, $6 = 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3$.

Pour un ensemble donné de taille $k$, appelons le plus petit entier naturel $N$ avec cette propriété un nombre produit-somme minimal. Le nombre produit-somme minimal pour des ensembles de taille $k = 2, 3, 4, 5$ et $6$ sont les suivants:

$\qquad \qquad k = 2: 4 = 2 \times 2 = 2 + 2$
$\qquad \qquad k = 3: 6 = 1 \times 2 \times 3 = 1 + 2 + 3$
$\qquad \qquad k = 4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4$
$\qquad \qquad k = 5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2$
$\qquad \qquad k = 6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6$

Par conséquent, pour $2 \le k \le 6$, la somme de tous les nombres produit-somme minimaux est $4 + 6 + 8 + 12 = 30$. Il faut noter également que 8 est n'est compté qu'une seule fois dans la somme.

De plus, comme l'ensemble des nombres produit-somme minimaux pour $2 \le k \le 12$ est $\{4, 6, 8, 12, 15, 16\}$, la somme est $61$.

Quelle est la somme de tous les nombres produit-somme minimaux pour $2 \le k \le 12 \ 000$ ?

Lien du problème originel