Énoncé:
Comme nous le savons tous, l'équation $x^2=-1$ n'a pas de solution pour $x$ réel.
Cependant, si nous introduisons le nombre imaginaire $i$, cette équation a deux solutions : $x=i$ et $x=-i$.
Si nous allons un peu plus loin, l'équation $(x-3)^2=-4$ a deux solutions complexes : $x=3+2i$ et $x=3-2i$.
$x=3+2i$ et $x=3-2i$ sont appelés conjugués complexes l'un de l'autre.
Les nombres de la forme a+bi sont appelés nombres complexes.
En général, a+bi et a-bi sont des conjugués complexes l'un de l'autre.
Un nombre entier gaussien est un nombre complexe $a+bi$ tel que $a$ et $b$ sont tous deux des entiers.
Les entiers réguliers sont également des entiers gaussiens (avec $b=0$).
Pour les distinguer des entiers gaussiens avec $b \ne 0$, on appelle ces entiers "entiers rationnels".
Un nombre entier gaussien est appelé diviseur d'un nombre entier rationnel $n$ si le résultat est également un nombre entier gaussien.
Si par exemple nous divisons $5$ par $1+2i$, nous pouvons simplifier $\dfrac{5}{1+2i}$ de la manière suivante :
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe de $1+2i$: $1-2i$.
Le résultat est $\dfrac{5}{1+2i} = \dfrac{5}{1+2i}\cdot \dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} = \dfrac{5(1-2i)}{1 - (2i)^2} = \dfrac{5(1 - 2i))}{1 - (-4)} = \dfrac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i$.
Donc $1+2i$ est un diviseur de $5$.
Notez que $1+i$ n'est pas un diviseur de $5$ car $\dfrac{5}{1+i} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{5}{2}i$.
Notez également que si l'entier de Gauss $(a+bi)$ est un diviseur d'un entier rationnel $n$, alors son conjugué complexe $(a-bi)$ est également un diviseur de $n$.
En fait, $5$ a six diviseurs tels que la partie réelle est positive : ${1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}$.
Voici un tableau de tous les diviseurs des cinq premiers entiers rationnels positifs :
| $n$ | diviseurs d'entiers gaussiens avec partie réelle positive | Somme $s(n)$ de ces diviseurs |
|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $1, 1+i, 1-i, 2$ | $5$ |
| $3$ | $1, 3$ | $4$ |
| $4$ | $1, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,4$ | $13$ |
| $5$ | $1, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 5$ | $12$ |
Pour les diviseurs à parties réelles positives, on a donc : $\displaystyle\sum_{n=1}^{5} s(n) = 35$.
Pour $\displaystyle\sum_{n=1}^{10^5} s(n) = 17924657155$.
Trouvez $\displaystyle\sum_{n=1}^{10^8} s(n)$ ?
Lien du problème originel