Énoncé:
En partant de zéro, les nombres naturels s'écrivent en base 10 comme ceci :
$0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12\dots$
Considérons le chiffre $d=1$. Après avoir écrit chaque nombre n, nous mettons à jour le nombre de uns qui se sont produits et appelons ce nombre $f(n,1)$. Les premières valeurs de $f(n,1)$ sont donc les suivantes:
| n | f(n,1) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
| 4 | 1 |
| 5 | 1 |
| 6 | 1 |
| 7 | 1 |
| 8 | 1 |
| 9 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 4 |
| 12 | 5 |
Notez que $f(n,1)$ n'est jamais égal à $3$.
Les deux premières solutions de l'équation $f(n,1)=n$ sont donc $n=0$ et $n=1$. La solution suivante est $n=199981$.
De la même manière, la fonction $f(n,d)$ donne le nombre total de chiffres $d$ qui ont été écrits après que le nombre $n$ ait été écrit.
En effet, pour tout chiffre $d \ne 0$, $0$ est la première solution de l'équation $f(n,d)=n$.
Soit $s(d)$ la somme de toutes les solutions pour lesquelles $f(n,d)=n$.
On vous indique que $s(1)=22786974071$.
Trouver $\sum s(d)$ pour $1 \le d \le 9$.
Remarque : si, pour un certain $n$, $f(n,d)=n$ pour plus d'une valeur de $d$ cette valeur de $n$ est recomptée pour chaque valeur de $d$ pour laquelle $f(n,d)=n$.
Lien du problème originel